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  • 悲伤的平行线会有相遇的一天吗?

    提起平行线,大家都不陌生——两段平行延伸的铁轨、黑白相间的斑马线,这都是生活中可以观察到的平行线,在文学作品中我们也会看到这样的描述:“两个人就像平行线一样,永远没有交集”。

    在我们的印象中,平行线具有永不相交的性质。但有人却说:“平行线在无穷远点交于一点”。

    那平行线之间到底有没有交点?它们到底会不会在无穷远点相遇呢?

    要弄明白这个问题,我们需要先了解平行线永不相交这个说法是怎么来的。

    平行线诞生于平面几何第五公理

    古希腊数学家,几何学之父欧几里得在研究几何学的时候,发现了有些几何学知识属于经由人类长期反复的实践表明正确,不需要由别的知识推出。于是欧几里得在《几何原本》中给出了五大公理[1],并以此为基础构建了几何学体系。这五大公理为:

    公理1:任意一点到另外任意一点可以画直线

    公理2:一条有限线段可以继续延长

    公理3:以任意点为心及任意的距离可以画圆

    公理4:凡直角都彼此相等

    公理5:同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。

    在五大公理中,前四个看着都比较简洁明了,第五公理则相对啰嗦。

    后来的研究推导表明,第五公理与以下两个说法等价——一是,三角形的内角和为180度;二是,过直线外一点,有且仅有一条直线不与该直线相交。

    而第二个说法中两条永远不相交的直线则被称作平行线。这便是平行线永不相交这一说法产生的原因。也正因为第五公理与平行相关,该公理又被称为平行公理。

    非欧几何VS平行公理

    从平面几何第五公理提出以来,数学家们就开始思考一个问题:这一公理能否被别的公理替代?

    19世纪,高斯、巴切夫斯基、波尔约等人各自独立尝试了使用不同的平行公理。最终根据过直线外一点能做几条直线与已知直线平行,形成了罗巴切夫斯基几何和黎曼几何两大新的几何体系。

    因为这两大体系与欧几里得几何学不同,所以又被统称为“非欧几何”。

    罗巴切夫斯基几何,简称为罗氏几何,认为过直线外一点至少能做出两条直线与已知直线平行。

    在一个双曲面上,因为空间的弯曲,过直线外一点可以画出好几条与已知直线平行的直线。

    因为这一几何描绘的是双曲面空间中的情况,所以也被称为“双曲几何”。

    在这样的双曲空间中,过直线外的一点,可以做出多条直线与已知直线平行。此外,在双曲空间中任意做出一个三角形,三角形内角和小于平面几何中的内角和(180°)。

    黎曼几何,则假定过直线外一点不存在与已知直线平行的直线。罗氏几何考虑的是双曲面中的几何学,黎曼几何考虑的则是椭圆空间中的几何学。

    因此,黎曼几何也被称为“椭圆几何”。

    在一个椭圆空间中,三角形内角和小于180度。并且因为椭圆空间中所有直线都经过椭圆空间最顶端的无穷远点,过直线外一点做不出已知直线的平行线。

    这也是我们常说的“平行线交于无穷远点”这一说法的来源。

    实际上,按照几何学的定义,当我们使用黎曼几何研究问题的时候,所有直线交于无穷远点,也就不存在平行线的概念了,因为在数学的定义上,称为平行线,就必须是同一平面内永远不相交的直线。

    从这个角度讲,“平行线交于无穷远点”是一个数学上的伪命题,但却具有一定的艺术价值。

    非欧几何有何应用价值?

    平面几何在我们的实际生活中有着非常大的应用价值。小到机械制造,大到地理信息测量,都离不开平面几何的计算。这也是为什么我们从小到大学习的都是平面几何。

    那非欧几何就是数学家们拍脑袋拍出来的吗?非欧几何有没有应用价值呢?

    答案是肯定的。

    非欧几何在特定的空间、特定的问题中具有很高的应用价值。

    从上文中我们可以看到,非欧几何主要用来研究双曲空间、椭圆空间这两种非平面空间中的几何学问题。而非平面空间在我们的实际生活中也是广泛存在的。

    非平面空间的出现,最常见的有两种情况:

    第一种情况是大质量天体导致的空间扭曲。

    根据广义相对论的相关理论,在大质量天体附近,空间会发生较为明显的弯曲。在日常生活中我们会发现,如果将一个重球放在支起来的布上,重球就会将布料压弯。

    而在宇宙中,大质量天体就是产生压迫的重球,空间结构就是支起来的布料,最后就会像图4一样,在大质量天体的周围,产生一定的空间弯曲。

    在这样的弯曲空间中进行宇宙航行时,平面几何的相关知识就不再适用,反而是非欧几何有了用武之地。单个天体产生的空间弯曲接近椭圆面,而多个天体则可能在交界区域产生接近于双曲面的弯曲空间。

    如果人类有一天迈向宇宙的星辰大海,根据非欧几何计算清楚弯曲空间中的几何关系,是实现宇宙航行必不可少的技术。

    第二种非平面空间是生存平面本身存在易忽视的曲率。

    我们生活的地球,其实本身就是一个椭球面。当我们在太空中观察地球时,很容易发现地球表面存在弯曲。这时候对于地球中几何关系,就可以通过空间立体平面几何进行分析。

    但是如果我们只在大地上进行观测,无法获得太空中的视角,那地球表面这个二维空间中的几何关系,其实就符合椭圆几何的相关性质。

    基于地球表面的这种特点,黎曼几何可以被用于地球表面的度量之中。通过基于黎曼几何的方法,对于地球表面的测地线进行研究,“测地几何”这一门学科就建立起来了。

    因此,在地球表面研究地理信息、航空航海等问题时,非欧几何中的黎曼几何就有着很高的应用价值。

    最后,回到我们最开始的问题,平行线本身的数学定义就是没有交点的,平行线也不会在无穷远点相遇。只是在黎曼几何中,两条看上去“平行”的直线会在无穷远点相遇,但它们实质上不属于平行线。

    虽然平行线注定不会相遇,但是对平行线和平面几何第五公理的研究,却产生了罗氏几何、黎曼几何等非欧几里得几何学,并在各方各面有着广泛的应用。数学研究很多时候都是这样,看上去奇思妙想的“无用之举”,最后反而在实际生活中找到了妙用。

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